线性代数基础¶
线性代数是机器人学的数学基石。本章将系统地讲解机器人学所需的线性代数知识。
学习目标¶
完成本章后，你将能够：
- 理解向量和矩阵的基本运算
- 掌握特征值和特征向量的概念
- 理解矩阵分解方法
- 应用线性代数解决机器人学问题
1. 向量基础¶
1.1 向量的定义¶
向量是既有大小又有方向的量，在机器人学中用于表示：
- 位置：机器人在空间中的位置
- 速度：机器人的运动速度
- 力：作用在机器人上的力
- 方向：机器人的朝向
1.2 向量运算¶
import numpy as np
# 创建向量
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
# 向量加法
v_sum = v1 + v2 # [5, 7, 9]
# 向量减法
v_diff = v1 - v2 # [-3, -3, -3]
# 标量乘法
v_scaled = 2 * v1 # [2, 4, 6]
# 向量长度（范数）
v_norm = np.linalg.norm(v1) # √14 ≈ 3.74
# 单位向量
v_unit = v1 / np.linalg.norm(v1) # [0.267, 0.535, 0.802]
1.3 点积（内积）¶
点积是向量运算中最重要的运算之一：
# 点积计算
dot_product = np.dot(v1, v2) # 32
# 计算夹角
cos_theta = dot_product / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2))
theta = np.arccos(cos_theta) # 弧度
# 应用：计算投影
# 向量 v1 在 v2 方向上的投影长度
projection_length = dot_product / np.linalg.norm(v2)
1.4 叉积（外积）¶
叉积用于计算垂直于两个向量的向量：
定义：
v₁ × v₂ = [v₁₂v₂₃ - v₁₃v₂₂, v₁₃v₂₁ - v₁₁v₂₃, v₁₁v₂₂ - v₁₂v₂₁]
性质：
- 结果向量垂直于 v₁ 和 v₂
- 方向由右手定则确定
- ||v₁ × v₂|| = ||v₁|| ||v₂|| sin(θ)
# 叉积计算
cross_product = np.cross(v1, v2) # [-3, 6, -3]
# 验证垂直性
print(np.dot(v1, cross_product)) # 0
print(np.dot(v2, cross_product)) # 0
# 应用：计算面积
# 平行四边形面积
area = np.linalg.norm(cross_product)
# 三角形面积
triangle_area = area / 2
2. 矩阵基础¶
2.1 矩阵的定义¶
矩阵是二维数组，在机器人学中用于表示：
- 变换：旋转、缩放、剪切
- 系统：线性方程组
- 状态：系统状态转移
矩阵表示：
A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃]
[a₃₁ a₃₂ a₃₃]
示例：
旋转矩阵 R = [cos(θ) -sin(θ) 0]
[sin(θ) cos(θ) 0]
[0 0 1]
2.2 矩阵运算¶
import numpy as np
# 创建矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# 矩阵加法
C = A + B # [[6, 8], [10, 12]]
# 矩阵减法
D = A - B # [[-4, -4], [-4, -4]]
# 标量乘法
E = 2 * A # [[2, 4], [6, 8]]
# 矩阵乘法
F = np.matmul(A, B) # [[19, 22], [43, 50]]
# 逐元素乘法（Hadamard积）
G = A * B # [[5, 12], [21, 32]]
# 转置
A_T = A.T # [[1, 3], [2, 4]]
2.3 矩阵类型¶
# 单位矩阵
I = np.eye(3) # 3x3 单位矩阵
# 零矩阵
Z = np.zeros((3, 3))
# 对角矩阵
D = np.diag([1, 2, 3])
# 对称矩阵
S = np.array([[1, 2], [2, 4]]) # S = Sᵀ
# 正交矩阵
# Q^T Q = I
Q = np.array([[0, -1], [1, 0]]) # 90度旋转矩阵
# 验证正交性
print(np.allclose(np.matmul(Q.T, Q), np.eye(2))) # True
2.4 矩阵的逆¶
# 矩阵求逆
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_inv = np.linalg.inv(A)
# 验证：A * A_inv = I
print(np.allclose(np.matmul(A, A_inv), np.eye(2))) # True
# 伪逆（用于非方阵或奇异矩阵）
A_pinv = np.linalg.pinv(A)
# 应用：求解线性方程组 Ax = b
b = np.array([5, 6])
x = np.linalg.solve(A, b) # 更高效的方法
# 或者
x = np.matmul(A_inv, b)
3. 特征值与特征向量¶
3.1 定义¶
特征值和特征向量是矩阵最重要的性质之一：
动画演示 — 观察特征值的几何含义：圆如何被矩阵变换为椭圆，特征向量方向保持不变：
3.2 计算方法¶
import numpy as np
# 创建矩阵
A = np.array([[2, 1], [1, 2]])
# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues) # [3, 1]
print("特征向量:", eigenvectors)
# 验证：Ax = λx
for i in range(len(eigenvalues)):
lhs = np.matmul(A, eigenvectors[:, i])
rhs = eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i]
print(f"验证 λ={eigenvalues[i]}:", np.allclose(lhs, rhs))
3.3 特征值分解¶
# 特征值分解：A = PDP⁻¹
# 其中 P 是特征向量矩阵，D 是特征值对角矩阵
P = eigenvectors
D = np.diag(eigenvalues)
P_inv = np.linalg.inv(P)
# 验证分解
A_reconstructed = np.matmul(np.matmul(P, D), P_inv)
print("重构矩阵:", np.allclose(A, A_reconstructed)) # True
# 应用：矩阵的幂
# A^n = PD^nP⁻¹
n = 5
D_n = np.diag(eigenvalues ** n)
A_n = np.matmul(np.matmul(P, D_n), P_inv)
3.4 奇异值分解 (SVD)¶
# 奇异值分解：A = UΣVᵀ
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
print("U:", U.shape) # (3, 3)
print("S:", S.shape) # (2,) - 奇异值
print("Vt:", Vt.shape) # (2, 2)
# 重构矩阵
Sigma = np.zeros_like(A, dtype=float)
Sigma[:min(A.shape), :min(A.shape)] = np.diag(S)
A_reconstructed = np.matmul(np.matmul(U, Sigma), Vt)
# 应用：低秩近似
# 保留最大的 k 个奇异值
k = 1
U_k = U[:, :k]
S_k = S[:k]
Vt_k = Vt[:k, :]
A_approx = np.matmul(np.matmul(U_k, np.diag(S_k)), Vt_k)
4. 线性方程组¶
4.1 求解方法¶
import numpy as np
# 方法 1：直接求解
A = np.array([[2, 1], [5, 7]])
b = np.array([11, 13])
x = np.linalg.solve(A, b)
print("解:", x) # [7.111, -3.222]
# 方法 2：矩阵求逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
x = np.matmul(A_inv, b)
# 方法 3：最小二乘解（超定系统）
# Ax ≈ b
A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])
b = np.array([1, 2, 2])
x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
print("最小二乘解:", x) # [0.667, 0.5]
4.2 齐次方程组¶
# 齐次方程组 Ax = 0
# 解空间是 A 的零空间
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# 计算零空间
from scipy.linalg import null_space
ns = null_space(A)
print("零空间:", ns)
# 验证：A @ ns ≈ 0
print("验证:", np.allclose(np.matmul(A, ns), 0))
5. 向量空间¶
5.1 基与维数¶
import numpy as np
# 向量空间的基
v1 = np.array([1, 0, 0])
v2 = np.array([0, 1, 0])
v3 = np.array([0, 0, 1])
# 标准正交基
# v1, v2, v3 是 R³ 的标准正交基
# 任意基
u1 = np.array([1, 1, 0])
u2 = np.array([0, 1, 1])
u3 = np.array([1, 0, 1])
# 验证线性独立性
matrix = np.column_stack([u1, u2, u3])
det = np.linalg.det(matrix)
print("行列式:", det) # 非零表示线性独立
5.2 子空间¶
# 子空间示例：R³ 中的平面
# 平面方程：ax + by + cz = 0
# 生成子空间
v1 = np.array([1, 0, -1])
v2 = np.array([0, 1, -1])
# 子空间中的任意向量
# v = α*v1 + β*v2
alpha, beta = 2, 3
v = alpha * v1 + beta * v2 # [2, 3, -5]
# 验证在平面上：x + y + z = 0
print("验证:", v[0] + v[1] + v[2]) # 0
6. 应用示例¶
6.1 机器人运动学中的线性代数¶
import numpy as np
# 旋转矩阵
def rotation_matrix_z(theta):
"""绕 Z 轴旋转"""
return np.array([
[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
[np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
[0, 0, 1]
])
# 齐次变换矩阵
def homogeneous_transform(R, p):
"""创建齐次变换矩阵"""
T = np.eye(4)
T[:3, :3] = R
T[:3, 3] = p
return T
# 示例：2 连杆机器人
theta1 = np.pi/4 # 45度
theta2 = np.pi/6 # 30度
l1 = 1.0
l2 = 0.8
# 正运动学
x = l1 * np.cos(theta1) + l2 * np.cos(theta1 + theta2)
y = l1 * np.sin(theta1) + l2 * np.sin(theta1 + theta2)
print(f"末端位置: ({x:.3f}, {y:.3f})")
# 雅可比矩阵
J = np.array([
[-l1*np.sin(theta1) - l2*np.sin(theta1+theta2),
-l2*np.sin(theta1+theta2)],
[l1*np.cos(theta1) + l2*np.cos(theta1+theta2),
l2*np.cos(theta1+theta2)]
])
print("雅可比矩阵:")
print(J)
6.2 线性回归¶
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成数据
np.random.seed(42)
X = np.random.randn(100, 1)
y = 2 * X + 1 + np.random.randn(100, 1) * 0.5
# 添加偏置项
X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]
# 最小二乘解：θ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy
theta = np.linalg.inv(X_b.T @ X_b) @ X_b.T @ y
print("斜率:", theta[1][0]) # ≈ 2
print("截距:", theta[0][0]) # ≈ 1
# 预测
X_new = np.array([[0], [2]])
X_new_b = np.c_[np.ones((2, 1)), X_new]
y_predict = X_new_b @ theta
7. 练习题¶
基础练习¶
- 计算向量
v1 = [1, 2, 3]和v2 = [4, 5, 6]的点积和叉积 - 验证矩阵
R = [[0, -1], [1, 0]]是正交矩阵 - 计算矩阵
A = [[2, 1], [1, 2]]的特征值和特征向量
进阶练习¶
- 实现 2 连杆机器人的正运动学
- 计算雅可比矩阵并分析奇异性
- 使用 SVD 进行图像压缩
应用练习¶
- 实现简单的线性回归
- 使用最小二乘法拟合数据
- 实现主成分分析 (PCA)
