坐标变换¶
概述¶
坐标变换是机器人学的基础，使我们能够在不同参考坐标系中表示位置和姿态。
旋转表示方法¶
旋转矩阵 (3x3)¶
正交矩阵 \(R\)，满足 \(R^T R = I\) 且 \(\det(R) = 1\)
特性： - 9个参数，6个约束 → 3个自由度 - 合成直观 - 传输时占用内存大
欧拉角¶
绕主轴的顺序旋转。
ZYZ约定： $\(R = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)\)$
常见问题：\(\beta = \pm 90°\) 时出现万向节锁
轴角（指数坐标）¶
\[R = e^{[\omega]_\times \theta}\]
其中 \([\omega]_\times\) 是 \(\omega\) 的反对称矩阵。
四元数¶
4参数表示：\(q = [w, x, y, z]\) 或 \(q = [cos(\theta/2), \sin(\theta/2)\omega]\)
优势： - 无万向节锁 - 插值高效（Slerp） - 存储空间小
齐次变换¶
结合旋转和平移：
\[T = \begin{bmatrix} R & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
其中 \(R\) 是3x3旋转矩阵，\(d\) 是3x1平移向量。
常用运算¶
变换合成¶
\[T_{AC} = T_{AB} \cdot T_{BC}\]
逆变换¶
\[T^{-1} = \begin{bmatrix} R^T & -R^T d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
向量变换¶
\[v_A = R_{AB} \cdot v_B\]
